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偏微分方程反問題被認為是數(shù)學中最具挑戰(zhàn)性的問題之一。美國賓夕法尼亞大學工程學院研究團隊提出一種利用人工智能（AI）求解偏微分方程反問題的新方法，為破解這一長期困擾數(shù)學與科學計算領(lǐng)域的難題提供了新思路。相關(guān)成果發(fā)表于新一期《機器學習研究匯刊》雜志。

從本質(zhì)上看，微分方程是描述變化的數(shù)學工具，可用于刻畫人口增長、熱量擴散或化學反應(yīng)隨時間的演化。偏微分方程可處理更復雜的系統(tǒng)，能同時描述變量在空間和時間上的變化，例如天氣系統(tǒng)的演變、材料中的熱傳導，以及DNA在細胞中的組織方式。

而偏微分方程反問題則更進一步。它不再是根據(jù)已知規(guī)則預測系統(tǒng)如何演化，而是從已觀測到的結(jié)果出發(fā)，反推出產(chǎn)生這些結(jié)果的隱藏參數(shù)、作用力或動力學機制。

研究團隊將這一過程形象比喻為“看著池塘里的漣漪，反推石子落點”。但在實際計算中，這類問題對穩(wěn)定性和算力要求極高，尤其是在涉及高階導數(shù)和噪聲數(shù)據(jù)時，傳統(tǒng)方法往往難以兼顧精度與效率。

為此，團隊沒有單純依賴增加算力，而是從數(shù)學方法入手，引入源于20世紀40年代“平滑子”概念的“平滑子層”。這一方法通過在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中先對數(shù)據(jù)進行平滑處理，再進行求導計算，從而避免了傳統(tǒng)的“遞歸自動微分”方法在多次求導過程中不斷放大噪聲的問題。

研究表明，該方法在提升求解穩(wěn)定性的同時，還降低了計算成本。以染色質(zhì)研究為例，這類結(jié)構(gòu)尺度僅約100納米，是DNA在細胞核中的折疊形態(tài)，其是否“開放”直接決定基因能否被訪問和表達，進而影響細胞功能、衰老及疾病過程。借助“平滑子層”，團隊反推出驅(qū)動這些結(jié)構(gòu)變化的表觀遺傳反應(yīng)速率，即調(diào)控基因活性的化學變化速度，使研究從對結(jié)構(gòu)的靜態(tài)觀測，進一步走向?qū)討B(tài)演化機制的刻畫。

“平滑子層”的潛力并不限于生物學。材料科學、流體力學等多個機器學習領(lǐng)域，同樣面臨高階方程與噪聲數(shù)據(jù)的挑戰(zhàn)，這一框架有望提供更穩(wěn)定高效的參數(shù)反演方法。